集合論3 有限集合と無限集合

これまでの話から分かることは、集合とは元全体により定まるということです。そしてこのことをベースに様々な定義がされていきます。

集合を考えたとき、その中に何個の元があるのか、という疑問が湧いてくると思います。

例えば、自然数全体の集合は無限に多くの元を持ちますが、3つの文字$a,b,c$の集まりは3つしか元を持ちません。集合の大きさ(大きさという言葉は定義してないため定かではないが、ここでは元の個数のことで、多い方が集合が大きいという意味で使うことにする)を比べるためにも元の個数に関心が集まります。

そこで、元の数に関しての定義をしましょう。

定義　有限集合、無限集合

元の個数が0またはある自然数で表される集合を有限集合という.有限集合でない集合を無限集合という.

例えば、2以上10以下の素数全体の集合は、2,3,5,7という4つの元からなる有限集合であり、整数全体の集合は無限集合です。

有限集合の場合は、単に元の個数を比べることで他の集合と比べることができるだろうし、個数によって分類もできる。

では、無限集合の場合はどうだろうか。元の個数は無限に多いのであるから他の無限集合と比べたり、分類したりできるでしょうか。

こういったことから、無限集合の元の個数(のようなもの)を‘濃度’という概念によって定義した。

濃度については、今後出てくることになります。

有限集合には、元の個数が1つの場合も含まれるが、1つの‘もの’aとaだけからなる‘集合’Aは異なるものであるということに注意が必要です。

理由を説明するためには、今の集合の定義では無理なので、公理によって集合をしっかりと定義しなければなりません。